Підготовка до конкурсів та олімпіад

Умови та розв'язки олімпіади з математики 2016 (міська)

6 клас.

1.З двох сіл – Дмитрівки та Петрівки вийшли одночасно назустріч один
одному Дмитро та Петро зі швидкостями 5 км/год та 7км/год відповідно.
Між селами пряма дорога довжини 60 км, дорога ця проходить через
Іванівку. З по моменту початку руху Дмитра та Петра, з Іванівки назустріч
Дмитру виїхав на мотоциклі Іван, доїхав до Дмитра, він розгорнулся та
поїхав до Петра, потім знову до Дмитра і т. д. до тих пір, поки Дмитро та
Петро не зуcтрілися. Який шлях проїхав Іван, якщо швидкість його
мотоцикла 50 км/год.
         Розв'язання:
До зустрічі пройде 60:(5+7)=5год. Тому, щоб дізнатися шлях Івана, треба 50
домножити на 5. Маємо 250 км.
2.Тетяна Іванівна, вчителька математики у 6-Б класі перемножила чотири
різних простих числа, в результаті отримала трицифрове число, що
закінчується нулем. Відомо, що сума цифр цього числа ділиться на 3 та те,
що це число менше 211. Які прості числа перемножила Тетяна Іванівна?
          Розв'язання:
Якщо число закінчується нулем, то воно ділиться на 2 і на 5. З ознаки
подільності на 3 випливає, що серед простих множників має бути 3. Добуток
2, 5, 3 дає 30. Найменше просте число після 5 – 7. Добуток відповідних
чотирьох чисел – 210. Якщо брати просте число, більше за 7, то добуток буде
більше 211

4. Оленка та Даринка грають у таку гру. Вони по черзі ставлять тури у
клітинки шахівниці (таблиця 88). Починає Оленка. Якщо на якийсь
горизонталі або вертикалі стоїть тура, то ставити тури на відповідні
горизонталі або вертикалі заборонено. Програє той, хто не може зробити
хід. Хто з гравців може грати так, щоб незалежно від ходів суперника
завжди вигравати. Як тоді треба грати цьому гравцю.
          Вказівка. Даринка може завжди вигравати. Для цього вона повинна ставити
туру у клітинку, що симетрична відносно центра поля останньому ходу
Оленки. Обов’язково буде момент, коли зробити хід не буде можливим через
те, що скінчена кількість розміщень тур на шахівниці. Якщо припустити, що
не зможе зробити хід Даринка, то тоді не змогла би зробити хід і Оленка, що
суперечить припущенню.
5. Чи можна вирізати з паперу дві смужки у вигляді прямокутників, такі, що
при одному розміщенні площа їх спільної частини була менше 1 2 мм , а при
другому більше 16 2 см . Розмір паперу необмежений.
         Вказівка. Так, можна. Ці прямокутники мають, наприклад, мати ширину
0,5 мм та довжину 4000 см . Тоді, якщо накласти один прямокутник на
інший, спільна площа – площа одного з прямокутників
4000  0,5 0,001 20см2 ,
а якщо розмістити їх перпендикулярно один відносно іншого, то спільна
площа – 0,25 2 мм